MATEMÁTICAS NOMBRE DEL BLOQUE LINEA RECTA HORAS ASIGNADAS 20 HORAS PROPÓSITO APLICA LAS PROPIEDADES DE LA LINEA RECTA EN LA SOLUCIÓN DE DIVERSAS SITUACIONES DE LA VIDA COTIDIANA, FAVORECIENDO SU PENSAMIENTO CRITICO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE NUEVOS CONOCIMIENTOS CONOCIMIENTOS LUGAR GEOMÉTRICO DE LINEA RECTA PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ANGULO ENTRE 2 RECTAS DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
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Dado un punto P(x 1 ,y 1 ) y la recta L (Ax + By + C=0), la distancia dirigida (es decir, hacia un solo sentido) de P a L se determina con la siguiente ecuación: Se dirá que la distancia es positiva cuando el punto P y el origen están del mismo lado de la recta. De no ser así, la distancia será negativa. Si se quiere obtener la distancia absoluta (sin importar el sentido) se usa la siguiente ecuación: Ejemplo: Determina la distancia dirigida del punto P(7,-1) a la recta L(4x-5y-13=0). Se sustituyen los valores en la ecuación que calcula la distancia del punto a la recta, cuidando el signo en la parte de abajo de dicha fórmula:
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) . Su formula es la siguiente Ax + By + C = 0 Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Que también puede escribirse como: ax + by + c = 0
Forma pendiente ordenada al origen • E l caso especial de la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, en que se conoce el valor de la pendiente m y la ordenada al origen (intersección de la recta con el eje Y), determinado por el punto P 1 (0,b ), está dado por la expresión: a esta expresión se le conoce también como la forma Ordinaria o Común de la ecuación de la recta. Gráficamente: Ejemplo: Si la pendiente de una recta es m=-2 y su ordenada al origen es el punto A(0,-3), entonces la ecuación de dicha recta es:
Ecuación de la recta en su forma simétrica. La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura. Cabe recordar que en una coordenada (x, y),x recibe el nombre de abscisa, y recibe el nombre de ordenada. De acuerdo a la figura la ordenada al origen es “b” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje y). La abscisa al origen es “a” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje x). Si A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta, al sustituirlos en la ecuación en su forma punto-punto tenemos que Y 2 - Y 1 Y- Y 1 = X 2 -X 1 ( X - X1 ) y-0= b - 0 ...
Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta. Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto - pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente. Sea A(x1, y1) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de pendiente se tiene que: Agrupando términos nos queda:
La Línea Recta Definamos teóricamente a una recta como una sucesión infinita de puntos y que además tiene una única inclinación o pendiente. Entonces, para identificar claramente a una recta y asegurar que es única en cuanto a su expresión matemática o fórmula, se deben tener en conocimiento necesariamente dos datos: - Dos puntos de la recta ó - Un punto de la recta y su pendiente ó - Un punto de la recta y su inclinación. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS: Teniendo 2 puntos conocidos en el plano que pasen por la recta buscada, se puede afirmar que solamente una recta pasará por esos 2 puntos, es decir, la recta que pase por esos 2 puntos será única y no existirá otra recta diferente con esas características. Si tomamos tres puntos pertenecientes a una recta, dos de ellos conocidos A(x 1 , y 1 ) y B(x...
Cuando dos rectas se cruzan, se forman ángulos a partir de ésta intersección. Dichos ángulos son conocidos como ángulos de intersección. Para calcular dicho ángulo, se utiliza la siguiente ecuación: Donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas. Ésta formula se puede demostrar de la siguiente manera: Dadas dos rectas que se intersectan en un punto, los ángulos que se forman cuando éstas tocan el eje x serían γ (gamma) y β (beta). Ángulos que se forman cuando las rectas cruzan el eje X. Por lo tanto: Ejemplo: Determina la medida de los ángulos del triángulo A(1,8), B(-1,4) y C(2,-1). Primero, se obtiene las pendientes de los tres lados del triángulo: Pendientes de cada uno de los lados del triángulo. Después, se obtienen los ángulos de cada uno de los vértices, tomando como m 2 la pendiente del lado adyacente al que estás, y m 1 la pendiente del lado actual. Al final, ...
Paralelismo . Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante y por lo tanto, por mucho que se propaguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. Por lo tanto: m1= m2 Condición de paralelismo De la cual: m1 = pendiente de la primer recta. m2 = pendiente de la segunda recta. Perpendicularidad . Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos de 90º. En función de sus pendientes, dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, Por lo tanto: m1*m2 = -1 Condición de perpendicularidad. De la cual: m1 ...
El ángulo de inclinación es el que forma la recta con el eje de las abscisas (eje x ). A partir de él también se puede conocer el valor de la pendiente, ya que se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son: la variación en x y la variación en y . Como la fórmula trigonométrica que relaciona los catetos es la de la tangente del ángulo podemos escribir la pendiente de la recta como: Ejemplos: Se tiene una recta delimitada por los puntos A(2,3) y B(6,8). Calcula la pendiente de dicho segmento y posteriormete, el ángulo de inclinación que se forma . Para éste problema, usaremos las dos fórmulas. Primero sustituimos los valores de las coordenadas en el segundo procedimiento planteado, y desarrollamos: Después de sustituir los valores, el procedimien...
PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano ), suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o una diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe: toda recta que no sea horizontal, tiene que cortar al eje "x". Se dice que si una recta corta al eje X, la inclinación de la recta se define como el ángulo positivo menor de 180° La formula para calcular la pendiente es Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación Pendiente positiva Cuando la recta es creciente (al aumentar los valor es de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0 Pendiente negativa Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión an...